[PDE] Backward heat equation

• heat equation

위치 $x$에서 시간$t$일 때 온도를 $u(t, x)$라고 하자.

 

다음의 heat equation과 boundary condition이 주어져있다.

$$u_t = u_{xx}, \quad 0<x<\pi,\quad t>0$$

$$u(t,0) = u(t,\pi) = 0,\quad t > 0$$

 

heat equation문제에서는 initial condition $u(0,x) = q(x)$가 주어져 있으면 PDE를 풀어서 모든 시간 $t$에 대한 온도를 찾아낼 수 있다.

 

• Backward heat equation

heat equation에서는 initial condition ($u(0,x)$)이 주어졌다. Backward heat equation에서는 이 initial condition 대신 다음과 같은 $t = T$일 때의 조건이 주어진다. 

$$u(T,x) = f(x)$$

 

• solution

$u(t, x) = X(x)T(t)$ - Separation of variables

 

$u(t, 0) = 0 \; \to \; X(0)T(t) = 0\; \to\; X(0) = 0,\quad \forall t$

 

$u(t, \pi) = 0 \; \to \; X(\pi)T(t) = 0\; \to \; X(\pi) = 0, \quad \forall t$

 

$u_t = X(x)T'(t),\; u_{xx} = X''(x)T(t)$

 

$X(x)T'(t) = X''(x)T(t)$

 

$\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T'(t)}{T(t)} = k\; \to$  변수가 다르기 때문에 등호가 성립하려면 상수여야 한다.

 

$X'' = kX, \quad T'=kT$

 

Let $k = -\lambda^2, \quad \lambda >0$

 

$X''+\lambda^2X = 0$

 

$X = A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)$

 

$X(0) = 0, X(\pi) = 0 \to X = B\sin(\lambda x), \; \lambda = n,\; n \in N$

 

$\therefore X = B\sin(nx),\; n \in N$

 

 

$T'+\lambda^2 T = 0,\quad T = C_ne^{-n^2t}$

 

$\therefore T = C_ne^{-n^2t}$

 

 

$u(t,x) = X(x)T(t) = C_n\sin(nx)e^{-n^2t}, n = 1, 2, 3, \cdots$

 

by superposition principal,

 

$u(t,x) = \Sigma_{n=1}^{\infty} C_n\sin(nx)e^{-n^2t}$

 

$u(0,x) = q(x) = \Sigma_{n=1}^{\infty}C_n\sin(nx)$

 

$u(T, x) = f(x) = \Sigma_{n=1}^{\infty}C_n\sin(nx)e^{-n^2T}