딥러닝 도전기

[데이터 과학을 위한 통계] 2. 데이터와 표본분포 이전 포스팅에 이어서 이번 포스팅에서는 두 번째 챕터를 리뷰해보려고 합니다. 우선 다음의 교재를 공부한 내용을 개인적으로 정리하는 포스팅임을 밝힙니다. 글을 읽으시다가 이상한 점이나, 궁금하신 점은 편하게 댓글로 남겨주시면 감사하겠습니다. 1. 표본추출과 표본편향 표본이란? 표본은 모집단(큰 데이터 집합)으로 부터 얻은 데이터의 부분집합을 의미합니다. 임의표본추출은 모집단으로 부터 샘플을 무작위로 추출하는 과정을 말합니다. 임의표본추출은 복원추출과 비복원추출로 나뉩니다. 표본편향 표본편향이란 모집단에서 표본을 추출할 때(샘플링할 때) 표본을 잘못 선택하여 통계 분석이 왜곡되는 것을 의미합니다. 한 예시로, 1936년 미 대선에서 루즈벨트와 랜던의 경선에..

[데이터 과학을 위한 통계] 1. 탐색적 데이터 분석 이번 포스팅은 한빛미디어의 "데이터 과학을 위한 통계"라는 교재를 공부한 내용을 정리하려 합니다. 다음의 교재를 참고했음을 미리 밝힙니다. 1. 정형 데이터와 비정형 데이터 데이터는 정형 데이터와 비정형 데이터로 나뉩니다 (반정형 데이터라는 개념도 있기는 합니다). 정형 데이터는 수치만으로 의미 파악이 가능한 데이터를 의미하는데, 예를 들어 키, 몸무게 데이터 등이 있습니다. 비정형 데이터는 텍스트, 이미지, 음성 등 정형화 되지 않은 데이터를 의미합니다. 정형 데이터는 크게 수치형 데이터, 범주형 데이터로 나뉩니다. 다시 수치형 데이터는 연속적인 값을 갖는 연속형 데이터, 이산적인 값을 갖는 이산형 데이터로 나뉘고 범주형 데이터는 0과1의 이진 값을..

[공업수학] 푸리에 급수 주기를 갖는 임의의 함수는 삼각함수의 급수로(푸리에 급수로) 나타낼 수 있으며 수식으로는 다음과 같이 표현합니다. $$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$ 이번 포스팅에서는 Fourier coefficient라고 불리는 $a_0, a_n, b_n$을 구하는 방법 및 증명을 진행하도록 하겠습니다. 푸리에 급수를 자세히 알아보기 전에, 함수의 직교를 어떻게 정의하는지 살펴보겠습니다. 구간 $[a, b]$에서 정의된 두 함수 $f(x), g(x)$의 직교성은 각각의 함수를 벡터로 생각하여, 내적값이 0이면 두 함수는 직교합니다. $[a, b]$에서 정의된 두 함수 $f(x), g(x)$의 내적$(f(x), ..

[공업수학] 코시-리만 방정식 (Cauchy-Riemann equation) 코시-리만 방정식 실해석학에서 해석적이라는 의미는 주어진 정의역 개구간$D$에서 함수 $f$가 무한 번 미분 가능하고 $f$의 테일러급수가 $f$에 수렴한다는 뜻입니다. 복소 해석학에서 해석적이라는 의미는 주어진 정의역 개구간$D$에서 함수 $f$가 미분 가능하다는 의미입니다. 복소함수가 미분 가능하면 무한 번 미분 가능합니다. 따라서 복소함수에서 미분 가능하다는 말과 해석적이다라는 말은 동치입니다. 코시-리만 방정식은 복소함수의 해석성에 대한 기준 즉, 미분 가능성(특정 영역에서)에 대한 기준을 제시합니다. $$w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$$ 가 주어져 있을 때, 함수 $f$가 정의역 $D$에서 해석적일..

$n\times n$ matrix $\mathbf{A}$를 생각해보자. 의 $rank(\mathbf{A}) = n$이면 다음과 같은 특성을 갖는다. 기약행사다리꼴(RREF)로 나타내었을 때 모든 대각성분의 원소가 1이다. - $n\times n$ matrix에서 $rank = n$은 nonsingular matrix (invertible, 가역)이기 위한 필요충분 조건이다. - determinant $\neq 0$ 또한 nonsingular matrix (invertible, 가역)이기 위한 필요충분 조건이다. 기본행연산에 의한 determinant의 변화를 살펴보면 $det(A) \neq 0$이면 $det(RREF(A)) \neq 0$임을 알 수 있다. 따라서 $RREF(A)$ 의 determinant..

heat equation 위치 $x$에서 시간$t$일 때 온도를 $u(t, x)$라고 하자. 다음의 heat equation과 boundary condition이 주어져있다. $$u_t = u_{xx}, \quad 0 0$$ heat equation문제에서는 initial condition $u(0,x) = q(x)$가 주어져 있으면 PDE를 풀어서 모든 시간 $t$에 대한 온도를 찾아낼 수 있다. Backward heat equation heat equation에서는 initial condition ($u(0,x)$)이 주어졌다. Backward heat equation에서는 이 initial condition 대신 다음과 같은 $t = T$일 때의 조건이 주어진다. $$u(T,x) = f(x)$$ s..

$n \times n$행렬 $A$가 가역행렬이기 위한 필요충분조건은 $rank(A) = n$입니다. ($det(A) \ne 0$과 동치) 따라서 행렬의 랭크를 구함으로써 가역인지 아닌지 판단이 가능합니다. (가역 : 역행렬 존재, 가역x: 역행렬 존재 x) $m\times n$행렬 $A$와 $m \times p$행렬 $B$에 대하여 첨가행렬(Augmented matrix) $(A|B)$는 $m \times (n+p)$행렬 $(A\; B)$이다. 즉, 처음 $n$개의 열은 $A$의 열이고, 그다음 $p$개의 열은 $B$의 열인 행렬이다. $n \times n$ 가역행렬 $A$에 대하여 $n \times 2n$첨가행렬 $C = (A|I_n)$이라고 하면 $A^{-1}C = (A^{-1}A|A^{-1}I_n)..

랭크의 정의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$에 대하여 랭크(rank)는 선형변환 $L_A : F^n \to F^m$의 랭크로 정의하고 $rank(A)$라고 표기한다. 자세한 증명은 제외하고 랭크의 성질을 위주로 알아보겠습니다. 임의의 행렬의 랭크는 일차독립인 열의 최대 개수와 같다. 즉, 행렬의 랭크는 그 열에 의해 생성된 부분공간의 차원이다. 임의의 행렬의 랭크는 일차독립인 행의 최대 개수와 같다. 즉, 행렬의 랭크는 그 행에 의해 생성된 부분공간의 차원이다. 임의의 행렬과 그 행렬의 전치행렬은 같은 랭크를 갖는다 $\to$ $rank(A) = rank(A^T)$ 임의의 행렬의 행과 열은 차원이 같은 부분공간을 생성한다. 차원은 행렬의 랭크와 같다. $n \times n$ 행렬 $A$..

2번 문제는 여인수 전개로 determinant를 구하는 문제였습니다. 위에 정의된 행렬 $M$을 작성해보면 다음과 같습니다. 여기에서 $\det(M)$을 $n$으로 표현하는 것이 문제에서 원하는 답입니다. 그리고 구하고자 하는 것이 $n\det(M)+1+\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-1}$이므로 점화식 또는 수열을 떠올려보는 것도 좋을 것 같습니다. 문제 풀이를 하기 전에 여인수 전개에 대해 먼저 작성해보겠습니다. 여인수 전개 3by3 행렬 $A$를 다음과 같이 정의해봅시다. $M_{ij}$는 $a_{ij}$의 소행렬식, $C_{ij}$는 $a_{ij}$의 여인수라고 하면 소행렬식 $M_{ij}$는 $a_{ij}$를 기준으로 $i$행과 ${j}$열을 제외한 나머지 행렬을 ..