[공업수학] 푸리에 급수(Fourier Series)

[공업수학] 푸리에 급수

주기를 갖는 임의의 함수는 삼각함수의 급수로(푸리에 급수로) 나타낼 수 있으며 수식으로는 다음과 같이 표현합니다.

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$

 

이번 포스팅에서는 Fourier coefficient라고 불리는 $a_0, a_n, b_n$을 구하는 방법 및 증명을 진행하도록 하겠습니다. 

 

푸리에 급수를 자세히 알아보기 전에, 함수의 직교를 어떻게 정의하는지 살펴보겠습니다.

구간 $[a, b]$에서 정의된 두 함수 $f(x), g(x)$의 직교성은 각각의 함수를 벡터로 생각하여, 내적값이 0이면 두 함수는 직교합니다.

 

 $[a, b]$에서 정의된 두 함수 $f(x), g(x)$의 내적$(f(x), g(x))$은 다음과 같이 정의됩니다.

(엄밀한 증명은 잘 모르겠지만, Hilbert Space에 대한 개념이 필요하다고 합니다.)

$$(f(x), g(x)) = \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx$$ 

 

따라서 구간 $[a, b]$에서 정의된 두 함수 $f(x), g(x)$의 직교성은 내적 값이 0이 될 때, 즉 다음의 수식을 만족할 때 이며

$$(f(x), g(x)) = \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = 0$$ 

 

이에 따라 직교 집합(orthogonal set)은 다음과 같이 정의됩니다.

$$ (\phi_m, \phi_n) = \int_{a}^{b} \phi_m \phi_n dx = 0$$ 

(여기에서 $\phi_n$을 orthogonal basis라고 합니다.)

 

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삼각함수 시스템은 구간 $-\pi \le x \le \pi$에서 직교합니다. 

즉, 이 구간에서 삼각함수 시스템의 임이의 두 함수 곱의 적분은 0이 되며, 임의의 정수 $n, m$에 대하여 다음이 성립합니다.

$$ (a)\quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \cos(mx) = 0 \quad\quad (n\neq m)$$

$$ (b)\quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin(mx) = 0 \quad\quad (n\neq m)$$

$$ \quad \; \qquad \quad(c)\quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \cos(mx) = 0 \quad\quad (n\neq m \; or \; n = m)$$

 

증명
$ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx) dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n+m)x dx + \frac{1}{2} 
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(n-m)x dx $
$n \neq m$일 때, 주기에 대한 적분은 항상 0이기 때문에
$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx) dx = 0$ 입니다.

동일하게,
$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin(mx) dx=  -\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n+m)x dx + \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(n-m)x dx $
$n \neq m$일 때, 주기에 대한 적분은 항상 0이기 때문에
$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\sin(mx) dx = 0$ 입니다.

유사하게,
$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \cos(mx) dx=  \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(n+m)x dx + \frac{1}{2} 
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(n-m)x dx $
$n \neq m$일 때, 주기에 대한 적분은 항상 0이며
$n=m 일 때, \sin(x)$는 odd function이기 때문에 
$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \cos(mx) dx = 0$ 입니다.

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• $a_0$구하기

이제 맨 처음에 언급했던 식 

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$ 

의 양변에 $-\pi$ 부터 $\pi$까지의 적분을 취해보도록 하겠습니다.

 

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx =a_0 \int_{-\pi}^{\pi}dx  + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) + b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)) dx$$

 

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx =2\pi a_0  + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) + b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)) dx$$

 

여기에서, $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)) dx = 0$이고, 양변을 $2\pi$로 나누면 

 

$$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)$$ 를 얻습니다.

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• $a_n$ 구하기

이제 $a_n$을 구하기 위하여 식 

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$ 

의 양변에 $cos(mx)$를 곱한 후 양변을 $-\pi$ 부터 $\pi$까지의 적분을 취해보도록 하겠습니다.

 

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx) dx =\int_{-\pi}^{\pi}[a_0\cos(mx) + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx)\cos(mx) + b_n \sin(nx)\cos(mx))]dx$$

 

 

여기에서 $a_0, a_n, b_n$이 포함된 항을 각각 항별적분하면

$$\int_{-\pi}^{\pi} a_0\cos(mx) dx = 0  \qquad\qquad\qquad\quad $$

$$\qquad\int_{-\pi}^{\pi} a_n \cos(nx)\cos(mx) = \begin{cases} a_m \pi, &\mbox{if } n = m \\ 0, &\mbox{if } n \neq m \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} b_n \sin(nx)\cos(mx) = 0 \qquad \qquad \qquad  $$

입니다.

 

$n = m$인 경우의 적분
$$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx) dx = \int_{-\pi}^{\pi} a_n \cos(nx)\cos(mx) dx =  \int_{-\pi}^{\pi} a_n \cos^2(nx)dx = a_n\pi$$

양변을 $\pi$로 나누면 

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) dx$$

를 얻습니다.

 

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• $b_n$구하기

이제 $a_n$을 구하기 위하여 식

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$ 

의 양변에 $sin(mx)$를 곱한 후 양변을 $-\pi$ 부터 $\pi$까지의 적분을 취해보도록 하겠습니다.

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(mx) dx =\int_{-\pi}^{\pi}[a_0\sin(mx) + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx)\sin(mx) + b_n \sin(nx)\sin(mx))]dx$$

 

여기에서 $a_0, a_n, b_n$이 포함된 항을 각각 항별적분하면

$$\int_{-\pi}^{\pi} a_0\sin(mx) dx = 0  \qquad\qquad\qquad\quad $$

$$\int_{-\pi}^{\pi} a_n \cos(nx)\sin(mx) = 0 \qquad \qquad \qquad  $$

$$\qquad\int_{-\pi}^{\pi} b_n \sin(nx)\sin(mx) = \begin{cases} b_m \pi, &\mbox{if } n = m \\ 0, &\mbox{if } n \neq m \end{cases}$$

입니다.

 

양변을 $\pi$로 나누면

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) dx$$

를 얻습니다.

 

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정리 

다음의 식으로 주어지는 푸리에 급수에 대하여, 

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$

 

주기가 $2\pi$인 Fourier Coefficient는 다음과 같다.

$$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx\qquad\quad$$

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)cos(nx) dx$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)sin(nx) dx$$

 

이를 임의의 주기 $p = 2L$로 일반화하면 Fourier Coefficient는 다음과 같다.

$$a_0 = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x) dx\qquad\qquad$$

$$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)cos(\frac{n\pi x}{L}) dx$$

$$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)sin(\frac{n\pi x}{L}) dx$$