[공업수학] 코시-리만 방정식 (Cauchy-Riemann equation)

[공업수학] 코시-리만 방정식 (Cauchy-Riemann equation)

• 코시-리만 방정식

실해석학에서 해석적이라는 의미는 주어진 정의역 개구간$D$에서 함수 $f$가 무한 번 미분 가능하고 $f$의 테일러급수가 $f$에 수렴한다는 뜻입니다. 

 

복소 해석학에서 해석적이라는 의미는 주어진 정의역 개구간$D$에서 함수 $f$가 미분 가능하다는 의미입니다.

복소함수가 미분 가능하면 무한 번 미분 가능합니다. 따라서 복소함수에서 미분 가능하다는 말과 해석적이다라는 말은 동치입니다.

 

코시-리만 방정식은 복소함수의 해석성에 대한 기준 즉, 미분 가능성(특정 영역에서)에 대한 기준을 제시합니다.

 

$$w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$$

가 주어져 있을 때, 함수 $f$가 정의역 $D$에서 해석적일 필요충분조건은

$u$와 $v$의 1계 편도함수가 $D$내의 모든 점에서 다음의 코시-리만 방정식

$$u_x = v_y$$

$$u_y = -v_x$$

를 만족하는 것입니다.

 

Cauchy-Riemman equation

$f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$가 한 점 $z = x+iy$의 어떤 근방에서 정의되고 연속이며 $z$에 대해 미분 가능하다면, 그 점에서 $u$와 $v$의 1계 편도함수가 존재하고 $u_x = v_y,  \quad u_y = -v_x$ 을 만족한다.

따라서 함수 $f(z)$가 열린 영억 $D$에서 해석적이면, 위의 편도함수들이 존재하고 $D$의 모든 점에서  $u_x = v_y,  \quad u_y = -v_x$ 을 만족한다.

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증명

$f(z) = u(x,y)+i v(x,y)$ 가 한 점 $z = x+iy$에서 미분 가능하다고 가정하면 도함수 $f'(z)$이 존재하고 그 식은

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$ 입니다.

위의 그림을 참고하여 살펴보겠습니다. 극한의 정의를 생각해보면 $f(z)$가 $z$ 임의의 한 점 근방에서 정의되고, $z$의 복소평면에서 임의의 방향으로부터 $z$에 접근할 수 있습니다.

 

따라서 $z$에서 미분 가능하다는 것은 $z$가 어떤 경로를 따라 $z$에 접근하더라도 $f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z)-f(z)}{\Delta z}$ 은 항상 동일한 값으로 수렴하는 것을 의미합니다.

 

두 식

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$

$$z = x +iy$$ 

를 이용하여 

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(x+iy + \Delta{x} + i\Delta{y}) - f(x+iy)}{\Delta{x} + i\Delta{y}}$$

를 구하고, $f(z) = u(x,y)+iv(x,y)$를 이용하여 나타내면

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{[u(x+\Delta{x}, y + \Delta{y}) +iv(x+\Delta{x}, y+\Delta{y})] - [u(x,y)+iv(x,y)] }{\Delta{x}+i\Delta{y}}$$

입니다.

 

증명을 위해서 $z$로 접근하는 두 개의 경로를 설정합니다.

경로 1 : $x$축 방향 $(\Delta y=0)$

경로 2 : $y$축 방향 $(\Delta x=0)$

 

• 경로 1을 이용한 계산

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{[u(x+\Delta{x}, y + \Delta{y}) +iv(x+\Delta{x}, y+\Delta{y})] - [u(x,y)+iv(x,y)] }{\Delta{x}+i\Delta{y}}$$

$\Delta{y} = 0$

 

then

 

$$f'(z) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[u(x+\Delta{x}, y ) +iv(x+\Delta{x}, y)] - [u(x,y)+iv(x,y)] }{\Delta{x}}$$

 

위의 식을 살펴보면 $f$를 $x$로 편미분 한 값이 됩니다.

따라서 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\frac{\partial}{\partial{x}}f(z) = \frac{\partial}{\partial{x}}\{u(x,y)+iv(x,y)\} = u_x + iv_x$$

$$\therefore f'(z) = u_x+iv_x$$

 

• 경로 2를 이용한 계산

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{[u(x+\Delta{x}, y + \Delta{y}) +iv(x+\Delta{x}, y+\Delta{y})] - [u(x,y)+iv(x,y)] }{\Delta{x}+i\Delta{y}}$$

$\Delta{x} = 0$

 

then

 

$$f'(z) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{[u(x, y + \Delta{y}) +iv(x, y+\Delta{y})] - [u(x,y)+iv(x,y)] }{i\Delta{y}} $$

$$= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{[u(x, y + \Delta{y}) +iv(x, y+\Delta{y})] - [u(x,y)+iv(x,y)] }{\Delta{y}} \times{-i}$$

 

위의 식을 살펴보면 $f$를 $y$로 편미분 한 후 $-i$를 곱한 값이 됩니다.

따라서 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

$$\therefore f'(z) = -iu_y+v_y$$

 

경로 1을 이용한 계산과 경로 2를 이용한 계산의 결과를 종합하면

 $$ u_x+iv_x = -iu_y+v_y$$ 를 얻고 

실수부와 허수부를 나누어 정리하면

$$u_x = v_y$$

$$v_x = -u_y$$ 

임을 알 수 있습니다.

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• 극형식에서의 코시-리만 방정식

 

 

다음으로는 극형식 $z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i \sin\theta)$를 사용하여 $f(z) = u(z)+iv(z) = u(x,y)+iv(x,y) = u(r,\theta)+iv(r, \theta)$로 나타냈을 때의 Cauchy-Riemann 방정식에 대하여 알아보겠습니다.

 

위에서 증명한 직교좌표계에서의 코시-리만 방정식 

$$u_x = v_y, \quad u_y = -v_x$$

을 이용하여 극형식에서의 코시-리만 방정식 

$$u_r = \frac{1}{r}v_\theta \quad v_r = -\frac{1}{r}u_\theta$$

을 증명해보도록 하겠습니다.

 

극형식에서 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ 입니다.

$u_r, u_\theta, v_r, v_\theta$를 각각 구해보면

 

$$u_r = \frac{\partial{u}}{\partial{r}} = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{r}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{r}} = u_x\cos\theta + u_y\sin\theta\quad$$

$$u_\theta = \frac{\partial{u}}{\partial{\theta}} = \frac{\partial{u}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{\theta}} + \frac{\partial{u}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{\theta}} = -u_xr\sin\theta + u_yr\cos\theta$$

$$v_r = \frac{\partial{v}}{\partial{r}} = \frac{\partial{v}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{r}} + \frac{\partial{v}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{r}} = v_x\cos\theta + v_y\sin\theta\quad$$

$$v_\theta = \frac{\partial{v}}{\partial{\theta}} = \frac{\partial{v}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{\theta}} + \frac{\partial{v}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{\theta}} = -v_xr\sin\theta + v_yr\cos\theta$$

 

이고 

$$u_x = v_y, \quad u_y = -v_x$$

를 이용하여 정리하면 

$$u_r = \frac{\partial{u}}{\partial{r}}= u_x\cos\theta + u_y\sin\theta = v_y\cos\theta - v_x\sin\theta\quad$$

$$\frac{1}{r}v_\theta = \frac{1}{r}(-v_xr\sin\theta + v_yr\cos\theta) = v_y\cos\theta - v_x\sin\theta$$

 

$$u_\theta = \frac{\partial{u}}{\partial{\theta}} =-u_xr\sin\theta + u_yr\cos\theta = -v_yr\sin\theta -v_xr\cos\theta$$

$$-rv_r = -r\frac{\partial{v}}{\partial{r}} = -r( v_x\cos\theta + v_y\sin\theta) = -v_yr\sin\theta -v_xr\cos\theta\quad$$

 

이며 다음의 식을 얻습니다.

 

$$u_r = \frac{1}{r}v_\theta$$

$$u_\theta = -rv_r \to v_r = -\frac{1}{r}u_\theta$$

 

따라서 극형식에서의 코시-리만 방정식은

$$u_r = \frac{1}{r}v_\theta$$

$$v_r = -\frac{1}{r}u_\theta$$

 

이며 위의 식을 만족하는 함수는 해석적입니다.