[선형대수학] 행렬의 랭크

랭크의 정의

행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$에 대하여 랭크(rank)는 선형변환 $L_A : F^n \to F^m$의 랭크로 정의하고 $rank(A)$라고 표기한다.

자세한 증명은 제외하고 랭크의 성질을 위주로 알아보겠습니다.

• 임의의 행렬의 랭크는 일차독립인 열의 최대 개수와 같다. 즉, 행렬의 랭크는 그 열에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.
• 임의의 행렬의 랭크는 일차독립인 행의 최대 개수와 같다. 즉, 행렬의 랭크는 그 행에 의해 생성된 부분공간의 차원이다.
• 임의의 행렬과 그 행렬의 전치행렬은 같은 랭크를 갖는다 $\to$ $rank(A) = rank(A^T)$
• 임의의 행렬의 행과 열은 차원이 같은 부분공간을 생성한다. 차원은 행렬의 랭크와 같다.

 

$n \times n$ 행렬 $A$가 가역이기 위한 조건은 $det(A) \ne 0$이다.

행렬 $A$의 기약행사다리꼴 표현을 $B$라고 하면 $det(B) \ne 0$이기 위한 조건은 대각성분에 $0$이 존재하면 안된다.

$rank(A) = rank(B)=n$이여야 가역행렬이다.

다시 말해 $n \times n$행렬 $A$가 가역이기 위한 조건은 $rank(A) = n$이다.

 

$n \times n$행렬이 가역이기 위한 필요충분조건은 랭크가 $n$인 것이다.