[선형대수학]기저와 차원

정의
벡터공간 $V$와 부분집합 $\beta$를 생각하자. $\beta$가 일차독립이고 $V$를 생성하면 $V$의 기저(basis)라고 한다. $\beta$가 $V$의 기저일 때, $\beta$는 $V$의 기저를 형성한다.

위의 정의를 보면 $\beta$가 $V$의 기저이기 위한 조건은 두 가지가 있습니다.

1. $\beta$는 일차 독립이다.

2. $\beta$는 $V$를 생성한다.

 

이러한 추상적인 말을 염두해두고 기저와 차원에 대해 알아보겠습니다.

 

• 표준기저

벡터공간 $F^n$에 대하여 

$e_1 = (1, 0, 0, \cdots , 0), e_2 = (0, 1, 0, \cdots, 0), \cdots ,e_n = (0, 0, 0, \cdots, 1)$일 때

집합 $\{e_1, e_2, e_3, \cdots, e_n\}$은 $F^n$의 기저입니다.

이것을 $F^n$의 표준기저라고 합니다.

 

• 행렬의 기저

행렬 $E^{ij} \in M_{m\times n}(F)$는 $i$행 $j$열 성분만 1이고, 나머지 성분은 0인 행렬이다. 집합 $\{E^{ij} : 1 \le i \le m, 1 \le j \le n\}$은 $M_{m \times n}$의 기저이다.

 

벡터공간 $V$와 이 공간에 속한 서로 다른 $n$개의 벡터 $u_1, u_2, \cdots, u_n$을 생각하자. 집합 $\beta = \{u_1, u_2, \cdots , u_3\}$ 가$V$의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 "임의의 벡터 $v\in V$를 $\beta$에 속한 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현은 유일하다"는 것이다. 즉, 유일한 스칼라 $a_1, a_2, \cdots, a_n$에 대하여 벡터 $v$는 다음과 같다.

$v = a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3+\cdots+a_nu_n$

여기에서 "그 표현은 유일하다"라는 말을 되짚어보자. 

반대로 생각해서 임의의 벡터 $v$를 $\beta$에 속한 벡터의 일차결합으로 나타내는 것이 유일하지 않다면 $\beta$에 속한 임의의 벡터 $u_i$는 $\beta$에 속한 다른 벡터들의 일차결합으로 표현될 수 있다는 말과 같다. 그러므로 이 $\beta$는 일차독립이 아니고 따라서 $V$의 기저가 될 수 없다.

 

• 차원

기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimension)이라 한다. $V$의 기저가 $n$개의 벡터로 이루어질 때, 유일한 자연수 $n$은 주어진 벡터공간의 차원(dimension)이고, $dim(V)$라 표기한다. 유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원(infinite dimension)이다.

벡터공간 $F^n$의 차원은 $n$이다.

벡터공간 $M_{m \times n}(F)$의 차원은 $mn$이다.

복소수체 $C$에서 복소수 벡터공간의 차원은 1이고, 기저는 $\{1\}$이다.

실수체 $R$에서 복소수 벡터공간의 차원은 2이고, 기저는 $\{1, i\}$이다.

 

벡터공간 $V$의 차원이 $n$이면 $V$의 기저는 반드시 $n$개의 벡터로 이루어져 있다.

$V$의 일차독립인 부분집합은 $n$개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으며, 적절히 몇 개의 벡터를 추가하여 기저로 확장할 수 있다.

$V$의 모든 생성집합은 적어도 $n$개 이상의 벡터를 가지며 몇 개 벡터를 적절히 제외하면 $V$의 기저로 축소할 수 있다.

 

유한차원 벡터공간 $V$에 대하여 부분공간 $W$는 유한차원이고 $dim(W) \le dim(V)$이다.

특히 $dim(W)=dim(V)$이면 $V = W$이다.