[선형대수학] 역행렬

$n \times n$행렬 $A$가 가역행렬이기 위한 필요충분조건은 $rank(A) = n$입니다. 

($det(A) \ne 0$과 동치)

따라서 행렬의 랭크를 구함으로써 가역인지 아닌지 판단이 가능합니다.

(가역 : 역행렬 존재, 가역x: 역행렬 존재 x)

 

$m\times n$행렬 $A$와 $m \times p$행렬 $B$에 대하여 첨가행렬(Augmented matrix) $(A|B)$는 $m \times (n+p)$행렬 $(A\; B)$이다. 즉, 처음 $n$개의 열은 $A$의 열이고, 그다음 $p$개의 열은 $B$의 열인 행렬이다.

$n \times n$ 가역행렬 $A$에 대하여 $n \times 2n$첨가행렬 $C = (A|I_n)$이라고 하면 

$A^{-1}C = (A^{-1}A|A^{-1}I_n) = (I_n|A^{-1})$

 

$(A|I_n)$에 기본행연산을 유한 번 적용하면 $(I_n|A^{-1})$로 변형할 수 있다.

 

이때 가역이 아닌 $n\times n$행렬 $B$에 대하여 $(B|I_n)$에 대하여 기본행연산을 하여 $(I_n|B^{-1})$꼴로 변형을 시도한다면 성공하지 못하고 처음 $n$개 성분이 모두 $0$인 행을 가진 행렬을 얻게 된다.

따라서 가역인지 아닌지 판단하는 것을 가장 먼저 해야한다.