[선형대수학] Rank와 determinant

$n\times n$ matrix $\mathbf{A}$를 생각해보자.

 

의 $rank(\mathbf{A}) = n$이면 다음과 같은 특성을 갖는다.

 

• 기약행사다리꼴(RREF)로 나타내었을 때 모든 대각성분의 원소가 1이다.

- $n\times n$ matrix에서 $rank = n$은 nonsingular matrix (invertible, 가역)이기 위한 필요충분 조건이다.

- determinant $\neq 0$ 또한 nonsingular matrix (invertible, 가역)이기 위한 필요충분 조건이다.

 

 

기본행연산에 의한 determinant의 변화를 살펴보면 $det(A) \neq 0$이면 $det(RREF(A)) \neq 0$임을 알 수 있다. 

 

따라서 $RREF(A)$ 의 determinant를 통하여 $A$가 가역인지 아닌지 판단할 수 있는데, triangular matrix의 determinat는 대각성분의 곱으로 나타낸다.

 

만약 $\det(RREF(A)) = 0$ 이라면 대각성분 중 한 개 이상의 성분이 $0$이라는 말이고 이 말은 $rank(RREF(A)) = rank(A) \le n$이라는 말이다.

($RREF(A)$는 $A$에 기본행연산을 통하여 구한 행렬인데, 기본행연산은 rank에 영향을 주지 않기 때문에 $rank(RREF(A)) = rank(A)$이다.)

 

정리해보면 

$det(A) = 0$이면 $A$의 기약행사다리꼴의 행렬식 $det(RREF(A))=0$이고 $det(RREF(A))=0$ 이기 위해서는 대각성분 중 0이 포함되어야 하므로 $rank(RREF(A)) = rank(A) \le n$이 된다.

 

따라서 $det(A)=0$이면 $rank(A) \le n$이고, 두가지 모두 singular matrix의 필요충분 조건이 된다.