[선형대수학]일차종속과 일차독립

집합 $S = {{u_1, u_2, u_3, u_4}}$가 생성한 $R^3$의 부분공간을 $W$라고 하자. 
여기서 $W$를 생성하는 $S$의 진부분집합을 생각해보자.
이는 $S$에서 꺼낸 한 벡터가 $S$에서 꺼낸 또 다른 벡터들의 일차결합으로 표현되는지 판단하는 문제이다.

쉽게 말하자면, 예를들어 $u_4 = u_1+u_2+u_3$ 이라면 $W$를 생성하는 $S$의 진부분집합은 ${u_1, u_2, u_3}$입니다.

$u_4$는 스칼라$a_1, a_2, a_3$에 대해 $a_1u_1, a_2u_2, a_3u_3$로 표현이 될 수 있기 때문입니다.

 

쉬운 예시를 들어보겠습니다.

$u_1 = <1, 0, 0>, u_2 = <0, 2, 0>, u_3 = <0, 0, 1>, u_4 = <1, 2, 3>$일 때 

$u_4 = u_1+u_2+3u_3$로 표현될 수 있습니다.

 

위의 예시는 쉬운 예시이기 때문에 $a_1 = 1, a_2 = 1, a_3 = 3$으로 쉽게 정할 수 있었지만 식이 복잡해지면 소거법을 이용하여 $a_1, a_2, a_3$를 결정해야 합니다.

 

소거법을 이용한 방법을 보겠습니다.

$u_4 = a_1u_1 + a_2u_2 + a_3u_3$

$<1, 2, 3> = a_1<1, 0, 0>+a_2<0,2,0>+a_3<0,0,1>$

$= <a_1, 0, 0> + <0, 2a_2, 0>+<0,0,a_3>$

 

이를 연립 일차방정식으로 나타내면

 

$a_1 + 0 + 0 = 1$

$0 + 2a_2 + 0 = 2$

$0 + 0 + a_3 = 3$

이 됩니다. 위 연립방정식을 풀면 $a_1, a_2, a_3$를 구할 수 있습니다.

 

조금 더 복잡한 예시를 살펴보겠습니다.

$u_1 = <2, -1, 4>, u_2 = <1,-1,3>,u_3=<1,1,-1>,u_4=<1,-2,-1>$

이라고 하고 $u_4 = a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3$를 연립방정식으로 나타내면

 

$2a_1+a_2+a_3=1$

$-a_1-a_2+a_3=-2$

$4a_1+3a_2-a_3=-1$

이고, 이는 해가 없음을 알 수 있습니다.

 

그런데 $u_4$가 $u_1,u_2,u_3$의 일차결합으로 나타내지지 않는다고 해서 $S$의 모든 벡터가 다른 벡터의 일차결합으로 표현되지 않는다고 할 수는 없습니다. $u_3 = 2u_1 -3u_2+0u_4$ 이므로 $u_3$는 $u_1, u_2, u_4$의 일차결합입니다.

 

조금 다르게 생각해보면 $2u_1 - 3u_2 -u_3+0u_4 = 0$입니다.

여기서 알 수 있는 것은 $S$의 각 벡터를 나머지 벡터의 일차결합으로 표현하는 것보다 영벡터를 $S$의 벡터의 일차결합으로 표현할 때 자명한 해 $(a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0)$를 제외한 또 다른 경우가 있는지 확인하는 것이 더 효과적이라는 점입니다.

 

정리하자면

벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대해, $a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n = 0$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $u_1, u_2, \cdots, u_n \in S$와 적어도 하나는 $0$이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, \cdots, a_n$이 존재하면 집합 $S$는 일차종속이라고 합니다. 이때, $S$의 벡터 또한 일차종속입니다.

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반대로 $a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n = 0$을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $u_1, u_2, \cdots, u_n \in S$와 $0$이 아닌 스칼라 $a_1, a_2, \cdots, a_n$이 존재하지 않으면 집합$S$는 일차 독립입니다.

→ $a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_nu_n = 0$을 만족하는 스칼라  $a_1, a_2, \cdots, a_n$가 자명해밖에 존재하지 않는다면 일차 독립입니다.

 

마지막으로 일차종속과 일차독립에 관한 정리와 따름 정리를 소개하고 마치도록 하겠습니다.

정리
$V$는 벡터공간이고 $S_1\subseteq S_2\subseteq V$이다. $S_1$이 일차종속이면 $S_2$도 일차종속이다.

따름 정리
$V$는 벡터공간이고 $S_1\subseteq S_2\subseteq V$이다. $S_2$가 일차독립이면 $S_1$도 일차독립이다.