[대수경] 제 39회 대학생 수학 경시대회 2분야 문제 1.

위 문제는 테일러 시리즈를 이용하면 어렵지 않게 풀 수 있습니다.

정확한 풀이를 소개하기 전에 제가 시험장에서 작성했던 풀이를 먼저 써보겠습니다.

 

• 시험장 풀이

$\sin(x)$의 테일러 전개 $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$ 에 의해 

$\sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!}-\cdots$ 임을 알 수 있고 $sin(x^2)$은 $x = 0$근방에서 $x^2$에 근사함을 알 수 있다.

따라서 

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}\sin(x^2)-x^2}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{x}x^2-x^2}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

이다.

 

• 정확한 풀이

$e^x$의 테일러전개 $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$,

$\sin(x^2)$의 테일러전개 $ x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!}-\cdots$에 의해

$e^x \times \sin(x^2) = x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2!} +\cdots $임을 알 수 있다. 

(우리는 3차 이상의 항에는 관심이 없다)

따라서

$\lim_{x\to0}\frac{e^{x}\sin(x^2)-x^2}{x^3} = \lim_{x\to0}\frac{x^2 + x^3 + \cdots - x^2}{x^3} = 1$

이다.